Теория меры и интегрирования является важным разделом общей теории математических функций, берущей начало с работ А.Лебега (1906) по теории интеграла. Этот раздел занимается изучением природы основных операций математического анализа. Одна из наиболее важных проблем, которая привела к развитию теории меры и интегрирования, возникла в связи с рядами Фурье. За сто или более лет до Лебега было известно, что тригонометрическим многочленом, дающим наилучшее среднеквадратичное приближение к данной функции, является ряд, порождаемый коэффициентами Фурье данной функции. Иначе говоря, при заданном k,

принимает минимальное значение, если коэффициенты определяются по формулам Фурье:

Однако поскольку определение интеграла было сформулировано в 19 в., вскоре стало ясно, что ряды из синусов и косинусов могут сходиться к функциям, настолько разрывным, что они не интегрируемы; и в этом случае понятие среднеквадратичной аппроксимации становится совершенно бессмысленным. Поэтому потребовалось новое определение интеграла, допускающего более широкий класс интегрируемых функций. В частности, хотелось по возможности расширить понятие предела последовательности интегрируемых функций, зная при этом, что предельная функция также будет интегрируема. (См. также РЯДЫ
.)

Теория Лебега. Предложенное в 19 в. определение интеграла в общих чертах сводилось к следующему. Разобьем интервал от a до b точками xi, так, что a = x0 < x1 < x2 < xn = b. Пусть Yi - наименьшая верхняя грань всех значений функции f(x) для xi - 1 . x . xi, а yi - наибольшая нижняя грань всех таких значений. Образуем верхнюю и нижнюю суммы:

Если эти верхние и нижние суммы имеют общий предел для любой последовательности разбиений, когда расстояние между точками разбиения стремится к нулю, то функция f(x) называется интегрируемой, а этот общий предел - ее интегралом и обозначается

Если f(x) слишком разрывна, то Yi и yi остаются существенно различными для слишком многих интервалов, и тогда верхние и нижние суммы не стремятся к общему пределу. В определении Лебега эта трудность устраняется раз и навсегда тем, что разбивается не область определения функции, а область ее значений, т.е. если c . f(x) . d при a . x . b, то точки разбиения выбираются таким образом, чтобы c = y0 < y1 < y2 < yn = d. Пусть Ei при каждом i будет множеством точек x, таких, что yi - 1 . f(x) . yi. В общем случае множество Ei будет не интервалом, а некоторым сложно устроенным множеством. Лебег усовершенствовал обобщение понятия длины таким образом, чтобы его можно было применять к множествам Ei в очень широком классе случаев. Эта обобщенная длина получила название меры множества Ei и стала обозначаться m(Ei). Верхняя и нижняя суммы Лебега имеют вид

Когда максимальная из разностей yi - yi - 1 стремится к нулю, эти суммы автоматически стремятся к общему пределу; следовательно f(x) - функция, интегрируемая в смысле Лебега, если только при любом разбиении области ее значений понятие меры применимо к возникающим множествам Ei. (См. также МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
.)

Множества, к которым применимо понятие меры, называются измеримыми, а функция, для которой любое разбиение области значений порождает разбиение ее области определения на измеримые множества, называется измеримой функцией. Одна из основных теорем в теории Лебега утверждает, что каждая ограниченная измеримая функция интегрируема на конечном интервале. С помощью подходящего предельного перехода интеграл в смысле Лебега распространяется на неограниченные функции и на бесконечные интервалы.

Определим меру Лебега. Пусть E - множество, принадлежащее интервалу от a до b. Последовательность интервалов I1, I2, I3, ?, таких, что каждая точка из E принадлежит некоторым интервалам In, называется покрытием множества E. Для каждого покрытия множества E открытыми интервалами вычислим сумму их длин; наибольшая нижняя грань всех таких сумм называется "внешней мерой" множества E и обозначается m*(E). Внутренняя мера множества E обозначается m*(E) и определяется как m*(E) = b - a - m*C(E), где C(E) - множество всех точек, заключенных между a и b, не принадлежащих E. Множество E измеримо, если его внешняя и внутренняя меры равны; если это так, то m(E) - общее значение m*(E) и m*(E).

Не все функции измеримы, но класс таких функций все же достаточно обширен, поскольку включает в себя все непрерывные функции, а также все поточечные пределы последовательностей измеримых функций. Последнее очень важно, так как если измеримость переносится на предельную функцию, то в этом случае она переносится и на интегрируемость, и появляется надежда решить проблему рядов Фурье.

Основные предельные теоремы. Теория Лебега отвечает одной из основных потребностей, связанных с предельным переходом, - она обеспечивает сохранение интегрируемости при операции сходимости в среднем квадратичном; под этим понимается следующее: если f1(x), f2(x), f3(x), ... - последовательность функций, каждая из которых интегрируема по Лебегу (в смысле Лебега) на измеримом множестве E, и если

то на E существует интегрируемая функция f(x), такая, что

Аналогичная теорема существует и относительно сходимости в среднем квадратичном, т.е. о сходимости к нулю интеграла от 2. Отсюда берет начало теорема Рисса - Фишера (1907), дающая ответ на вопрос относительно рядов Фурье, о котором говорилось в начале этой статьи. Именно, если ряд

сходится, то существует функция f(x), квадрат которой интегрируем в смысле Лебега, и такая, что

Значение теории Лебега состоит в том, что она требует выполнения весьма слабых условий для среднеквадратичной сходимости интеграла Лебега. Последовательность функций сходится по мере, если при любом заданном . 0 мера множества, на котором |fm(x) - fn(x)| ???, стремится к нулю при m ??. и n ???. Классическая теорема, также принадлежащая Лебегу, утверждает, что если последовательность измеримых функций f1(x), f2(x), f3(x), ... сходится по мере на измеримом множестве E и если существует интегрируемая функция g(x), такая, что |fn(x)| . g(x) при всех n, то существует интегрируемая функция f(x), такая, что

Подводя итог, можно сказать, что сходимость по мере вместе с равномерным мажорированием интегрируемой функцией влечет за собой сходимость в среднем.

Со времен Лебега условие равномерного мажорирования удалось заменить более слабым условием. Предположим, что для каждой стягивающейся последовательности E1, E2, E3, ... измеримых множеств из E, не имеющих ни одной общей для всех точки, равномерно по n выполняется соотношение

Тогда из сходимости по мере следует сходимость в среднем на E.

Аксиоматический подход. Мера Лебега первоначально была определена для множеств на действительной прямой и привела к теории интегрирования по таким множествам. Применительно к более общим множествам ее основные положения и результаты приводят к абстрактной теории интегрирования, в свою очередь имеющей многочисленные реализации и приложения.

Исходным пунктом одной из таких абстрактных теорий стало аксиоматическое задание внешней меры, предложенное К.Каратеодори (1873-1950). Рассмотрим абстрактное пространство S. Предположим, что величина m*(A) определена для любого подмножества A из S. Эта функция множества m* называется "внешней мерой", если она удовлетворяет следующим условиям:

1) m*(?) = 0, если . - пустое множество;

2) m*(A) . m*(B), если A содержится в B;

3) если E1, E2, E3, ... - любая последовательность множеств, покрывающих множество E.

Внешняя мера Лебега (описанная выше) обладает этими свойствами, причем оказывается, что для нее эти свойства являются определяющими. Если задана любая m*, удовлетворяющая этим условиям, то измеримость множеств определяется утверждением, что E измеримо, если для любого множества A выполняется соотношение m*(A) = m*(A . E) + m*(A - E). Здесь A ??E (пересечение A и E) означает множество точек, принадлежащих одновременно A и E; а A - E - множество точек, принадлежащих A, но не принадлежащих E. Интуитивно измеримое множество воспринимается как "хорошее", и определение Каратеодори говорит о том, что множество E измеримо, если не существует такого множества А, которое бы разделяло Е на две части, внутреннюю и внешнюю, так, что их внешние меры складываются "неправильно". Предложенное Лебегом определение измеримости, использующее внутреннюю меру, - частный случай условия Каратеодори, в котором A = S. Из-за некоторых специальных свойств внешней меры Лебега это условие оказывается достаточным для модели Лебега, но в общем случае требуется проверять измеримость более детально.

Ключевая теорема в теории Каратеодори утверждает, что любая внешняя мера, удовлетворяющая введенным аксиомам, при ограничении только на измеримые множества обладает всеми свойствами, которыми должна обладать мера. Самое важное из этих свойств называется полной аддитивностью. Мера m называется вполне аддитивной, если для любой последовательности E1, E2, E3, ... измеримых множеств, никакие два из которых не имеют общей точки,

(Символ в скобках в левой части равенства означает объединение множеств En, т.е. множество точек, принадлежащих по крайней мере одному из множеств En.)

Если дана любая вполне аддитивная мера, то затем можно, более или менее следуя Лебегу, определить интеграл, удовлетворяющий основным предельным теоремам, приведенным ранее в этой статье; следуя теории Каратеодори, можно для этих же целей исходить из внешней меры.

Построение внешних мер. Существует совершенно стандартная процедура построения примеров внешних мер. Задача заключается в следующем: внешняя мера должна быть определена на всех множествах в пространстве, а простой формулы для таких функций обычно не существует. Приходится выбирать гораздо более узкий класс относительно простых множеств, задавать на них конкретную функцию и, пользуясь ею, порождать внешнюю меру. В большинстве случаев не удается представить наглядно ничего, кроме первоначальной функции на основном классе простых множеств; однако можно доказать, что такая функция действительно порождает внешнюю меру, а значит, и меру, и, следовательно, интеграл.

Метод построения внешних мер в точности повторяет тот, которым пользовался Лебег и который был описан в нашей статье выше. Суть его сводится к следующему. Пусть . - функция, определенная на некотором классе множеств. Если E1, E2, E3, ... - последовательность множеств, на которых определена ?, и если эта последовательность множеств покрывает множество A, то образуем сумму

Тогда m*(A) - по определению наибольшая нижняя грань всех сумм, получаемых указанным способом.

В случае меры Лебега в качестве простых множеств используются открытые интервалы, и функция ?, о которой говорилось выше, является длиной; т.е. выбрав для любого открытого интервала . в качестве ??(I) его длину и проделав процедуру, описанную в предыдущем абзаце, мы получим внешнюю меру Лебега.

Более общая конструкция состоит в следующем. Минимальный набор требований сводится к тому, чтобы каждое множество можно было покрыть последовательностью множеств, на которых определена ?, и чтобы сама функция . всюду была неотрицательна и обращалась в нуль на пустом множестве. Если эти условия выполняются для ?, то можно доказать, что описанный метод порождает внешнюю меру. Но если на . наложены только перечисленные выше минимальные условия, то относительно получающейся внешней меры можно извлечь не слишком много информации. Например, нельзя с уверенностью утверждать, что базовые множества, на которых определена ?, окажутся измеримыми, а также, что для такого множества . (E) = m*(E).

С другой стороны, если удостовериться, что . обладает более тонкой структурой, то относительно внешней меры появляется дополнительная информация. В различных вариантах абстрактной теории меры на функцию, используемую для построения внешней меры, накладываются различные условия. Обычно используются следующие. Предположим, что . определена на кольце множеств (семействе множеств, замкнутом относительно операций взятия разности и конечного объединения). Если . определена на кольце и вполне аддитивна, то множества в кольце оказываются измеримыми, а мера, которая при этом получается, обладает всеми свойствами функции . на кольце.

Дифференцирование. Один из фундаментальных фактов математического анализа состоит в том, что дифференцирование и интегрирование - взаимно обратные процедуры. Возникает вопрос, переносится ли этот факт на рассматриваемые нами более общие теории интегрирования и дифференцирования. Кратко можно сказать, что для интеграла, построенного с помощью меры Лебега на действительной прямой, существует достаточно хорошая теория дифференцирования, но для любой более общей модели необходимы дополнительные уточнения. Важно отметить, что даже для интегралов, порожденных теорией плоской меры Лебега (меры, построенной по функции ?, определяющей площадь прямоугольников на плоскости), теория дифференцирования становится более тонкой.

При обсуждении вопросов дифференцирования, связанных с теорией меры, существует формальное видоизменение обычного дифференцирования, основанное на том, что интегралы рассматриваются как функции множества, а не как функции точки. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы одну функцию множества ?, возможно, интеграл, продифференцировать по другой функции множества - мере m. Определение производной принимает форму

Не вдаваясь в детали, можно сказать, что I . x означает здесь, что множество I стягивается в точку x. Основная трудность связана именно с точной интерпретацией этой идеи. Проверим ее разными способами.

Пусть f(x) - функция, интегрируемая по Лебегу на части действительной прямой, и пусть ?(E) определена для каждого измеримого множества E из области определения функции f формулой

Определим теперь дифференцирование функции . следующим образом. Выберем в качестве множеств I замкнутые интервалы. Возьмем, далее, произвольные стягивающиеся последовательности этих интервалов, имеющих общей точкой лишь точку x, интерпретируя этот процесс как I . x. При этих условиях можно доказать, что ??(x) существует и равна f(x) всюду, за исключением, может быть, тех точек множества, мера которых равна нулю. Математики используют в подобных случаях терминологический оборот, говоря, что "?. = f почти всюду". Нестрого можно утверждать, что "если имеется интегрируемая функция, то дифференцирование интеграла позволяет почти всюду восстановить подынтегральную функцию".

Но можно поступить и иначе. Ключевые свойства интеграла как функции множества заключаются в том, что он вполне аддитивен и абсолютно непрерывен, т.е. обращается в нуль на множествах меры нуль. Если m - мера Лебега на действительной прямой, дифференцирование определено относительно произвольной последовательности стягивающихся замкнутых интервалов, а функция . вполне аддитивна и абсолютно непрерывна, то ?. существует почти всюду, и для каждого измеримого множества E

На плоскости ситуация сложнее. Чтобы доказать, что интеграл почти всюду дифференцируем и его производная равна подынтегральной функции, необходимо ограничить определение производной. Используя стягивающиеся в точку прямоугольники, необходимо наложить два ограничения: стороны прямоугольников всегда должны быть параллельны координатным осям, и при стягивании отношение длины и ширины должно оставаться неизменным или по крайней мере одного и того же порядка. При таких ограничениях интеграл почти всюду дифференцируем, производная его совпадает с подынтегральной функцией, но этот результат утрачивает силу, если допустить наклонные прямоугольники или когда отношение сторон меняется при стягивании прямоугольников в точку.

Если абсолютно непрерывная, вполне аддитивная функция задается на плоских множествах, то необходимо дополнительно потребовать, чтобы ее значение на любом измеримом множестве было сколь угодно точно аппроксимируемо ее значением на накрывающем открытом множестве. Тогда функция дифференцируема в ограниченном выше смысле почти всюду и равна интегралу от своей производной.

Если потребовать, чтобы длина и ширина прямоугольников, используемых в определении производной, были величинами одного и того же порядка, то можно воспользоваться теоремой, согласно которой интеграл почти всюду имеет производную, равную подынтегральной функции. Но все рушится, если отказаться от требования ограниченности. Утверждение теоремы становится неверным в топологическом смысле для большинства неограниченных подынтегральных функций.

Наконец, существует весьма абстрактная теорема Радона - Никодима (1930), согласно которой, если функция . определена на классе измеримых множеств и всюду конечна, вполне аддитивна и абсолютно непрерывна, то существует функция точки f, такая, что для каждого измеримого множества E функция ?(E) является интегралом от f по E. Функцию f поэтому можно рассматривать как абстрактную производную от ?, однако ни формулировка теоремы Радона - Никодима, ни ее доказательство не дают оснований для интерпретации этой абстрактной производной как предела отношения. Производная в данном случае определяется единственным способом - как решение некоторого интегрального уравнения. Иначе говоря, абстрактная производная от . есть функция f, такая, что для любого измеримого множества E

Интеграл Даниеля. Другой подход к определению интеграла был предложен П.Даниелем в 1917. С тех пор и этот подход стал предметом многочисленных обобщений. Основная идея Даниеля состоит в формальном определении интеграла в терминах его свойств как функции подынтегрального выражения. Ключевыми являются такие свойства как линейность (), монотонность (если f . g, то ) ), монотонность (если f . g, в каком-то принятом смысле, то ).

Один из вариантов подхода Даниеля заключается в следующем. Рассмотрим ступенчатую функцию на некотором заданном интервале действительной оси. (Ступенчатой называется функция, постоянная на каждом из конечного множества интервалов, в силу чего ее график напоминает ступени лестницы.) Каждой ступенчатой функции f поставим в соответствие число I(f); потребуем, чтобы функция I была линейной, монотонной и непрерывной (предположим, что I(af + bg) = aI(f) + bI(g) для любых ступенчатых функций f и g и любых чисел a и b). Потребуем также, чтобы I(f) . I(g), если f . g, и чтобы I(fn) . I(f), если ступенчатые функции fn монотонно стремятся к ступенчатой функции f. Пусть M - наименьший класс функций на выбранном интервале, содержащий все ступенчатые функции и замкнутый относительно операции взятия монотонных пределов. Назовем M - классом измеримых функций. Можно показать, что существует единственное расширение функции I с множеством ступенчатых функций на весь класс M, которое остается линейным, монотонным и непрерывным на M. Этот расширенный оператор, который переводит функцию в число, называется интегралом.

В подходе Даниеля интеграл рассматривается всего лишь как функция подынтегрального выражения, поэтому в результате мы получаем интеграл от f, но о том, по какому множеству проводится интегрирование, ничего не говорится. Если в теории Даниеля и приходится по чему-нибудь интегрировать, так это по всему базисному интервалу, и то, что в теории Лебега называлось бы интегралом от f по E, в теории Даниеля есть интеграл от f, умноженный на функцию, равную I на E и 0 вне E.

Интеграл Даниеля определяется без использования меры, однако с его помощью можно получить саму теорию меры. Различие состоит в том, что здесь мера выводится из интеграла, а не наоборот. Допустим, что некоторый класс измеримых функций и интеграл могут быть определены указанным выше образом. Множество E из базового интервала считается измеримым, если его характеристическая функция (функция, равная I на E и 0 вне E) принадлежит классу измеримых функций. Тогда меру множества E можно определить как интеграл от характеристической функции множества E. Таким образом, в подходе Даниеля возникает вся та теория, которая в другом порядке развертывается в подходе Лебега.

Наконец, следует отметить, что на множестве ступенчатых функций может быть задано много различных линейных, монотонных, непрерывных функционалов, каждый из которых приводит к другому понятию интеграла и последующему понятию меры. Но если за I(f) принять площадь под графиком функции f, то подход Даниеля просто воспроизводит интеграл Лебега и меру Лебега.

математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения. При этом и способ сравнения напоминает обычный процесс измерения площади. Меру Лебега m (Δ) любого квадрата Δ полагают равной его площади. Затем рассматриваемое множество А покрывают конечным или бесконечным числом квадратов Δ₁, Δ₂,..., Δ_n,...; нижнюю грань чисел

взятую по всевозможным покрытиям множества А, называют верхней (внешней) мерой m^*(А) множества А. Нижняя (внутренняя) мера m^* (А) множества А определяется как разность

где Δ - какой-либо квадрат, содержащий множество А, и - множество всех точек этого квадрата, не содержащихся в А. Множества, для которых верхняя мера равна нижней, называют измеримыми по Лебегу, а общее значение m (А) верхней и нижней мер - мерой Лебега множества А. Геометрические фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле (см. Квадрируемая область), измеримы, и их мера Лебега совпадает с их площадью. Однако существуют и неквадрируемые измеримые множества. Аналогично можно определить меру Лебега на прямой. При этом верхнюю меру определяют, рассматривая покрытия множества интервалами.

Основные свойства меры Лебега: 1) мера любого множества неотрицательна: m (A)Δ ́≥ ́0; 2) мера суммы

конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств A₁, A₂..., A_n... равна сумме их мер:

3) при перемещении множества как твёрдого тела его мера не меняется.

Своеобразие понятия "М. м." можно пояснить следующим примером: множество А рациональных точек интервала (0, 1) и множество В иррациональных точек того же интервала сходны в том смысле, что каждое из них плотно на интервале (0, 1), т. е., что между любыми двумя точками указанного интервала найдутся как точки множества А, так и точки множества В; в то же время они резко различаются по мере: m (А) = 0, а m (В) = 1.

Для более узких классов множеств мера, совпадающая с лебеговской, была ранее определена М. Э. К. Жорданом (1893) и Э. Борелем (См. Борель) (1898). О других вопросах, связанных с мерой Лебега, см. Интеграл.

Развитие ряда отделов современной математики привело к дальнейшим обобщениям - созданию т. н. абстрактной теории меры. При этом М. м. определяют аксиоматически. Пусть U - произвольное множество и - некоторое семейство его подмножеств. Неотрицательную функцию μ(A), определённую для всех А, входящих в , называют мерой, если она вполне аддитивна [т. е., если для любой последовательности непересекающихся множеств A₁, A₂,..., A_n,..., входящих в , сумма А которых входит в , имеет место равенство

и если, кроме того, система удовлетворяет определённым дополнительным условиям. Множества, входящие в , называют измеримыми (по отношению к мере μ). После того как определена мера μ, вводят понятие измеримых (по отношению к μ) функций и операцию интегрирования.

Многие основные утверждения из теории меры Лебега, теории измеримых функций и интеграла Лебега сохраняются с соответствующими видоизменениями и в абстрактной теории меры и интеграла. Последняя составляет математическое основание современной теории вероятностей, данное в 1933 А. Н. Колмогоровым. Специальный интерес для ряда областей математики представляют меры, инвариантные по отношению к той или иной группе преобразований множества U в себя.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М. - Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Халмош П. Р., Теория меры, пер. с англ., М., 1953.

Ю. В. Прохоров.